2024-12-08
今日は ルベーグ積分入門 を眺めていた。
有限加法族と有限加法的測度
↓
外測度
↓
完全加法族、完全加法性、測度
という流れで進んでいく。外測度で集合の覆い方の inf を取る、という有限から無限へのステップがある。
上記の例としてユークリッド空間 R^N が挙げられている。これをルベーグ測度という。
区間や区間塊は Lubesgue 可測であってその測度は普通の意味の（N 次元の）体積に等しい. だから Lubesgue 測度は体積の概念の拡張といえる.
次に
可測空間
↓
可測関数
↓
積分の定義
と進んでいく。可測集合上での積分が単関数によって定義され、徐々に一般の可測関数に拡張していく。一般の可測関数は単関数の関数列の極限である、という定理からこの拡張が可能となる。
次に
ルベーグの収束定理、ルベーグの項別積分定理、有界収束定理
について述べられる。
Lubesgue 積分の効用の一つは, 関数列あるいは関数項の級数において, 極限あるいは無限和をとる操作と積分演算との順をとりかえることができるための条件が, Riemann 積分の場合よりずっと簡単になることである.
証明は追えていない。
ブログ記事になかなか TEX を組み込めない。今日も挑戦したが失敗した。