今週も 1 週間頑張った。仕事終わりのビールがうまい。さっきまで Netflix でインターステラーを見ていたが、ポテチを食べる音で全然聞こえず話の内容がわからなかったので途中でやめて、YouTube で数学講義の動画を見ていたらモチベーションが上がってきたので解析入門 I を開いた。

前回の記事で基礎が理解できていないことを痛感した。もっと最初から読む必要があるので今日は解析入門 I の p.44 を読む。

無限等比級数の収束

$z\in \mathbb{C}$ が $|z| < 1$ をみたすとき、無限等比級数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty z^n$ は収束し、和は $\displaystyle \frac{1}{1-z}$ であることを示す。

高校で習った等比数列の和の公式

$$\displaystyle 1 + z + \cdots + z^n = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}$$

を使う。$x \in \mathbb{R}$ に対して $0 \le x \lt 1$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x^n = 0$ だから、 $|z| < 1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} |z|^n = 0$ となる。

この形に持っていきたい。そこで

$$\displaystyle \left|(1 + z + \cdots + z^n) - \frac{1}{1 - z} \right| = \left|\frac{z^{n + 1}}{1 - z} \right|$$

とする。右辺は $|z|^{n + 1}$ の形になっているので $n \to \infty$ のとき 0 に収束する。よって

$$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty z^n = \frac{1}{1 - z}$$

がいえた。

整級数

もっと一般的な形（整級数）を考える。$a,\ a_n \in \mathbb{C}$ を定数として

$$\displaystyle a_0 + a_1 (z - a) + a_2 (z - a)^2 + \cdots = \sum_{n = 0}^\infty a_n(z - a)^n$$

を $z \in \mathbb{C}$ の関数とみる。$|z| \lt 1,\ a = 0,\ a_n = 1$ の場合はさっきの無限等比級数の和の極限となるから $\displaystyle \frac{1}{1 - z}$ に収束する。

$a_n = 1$ なら $|z - a| \lt 1$ のとき収束する。$|z - a| \ge 1$ のときは一般項 $(z - a)^n$ が $n \to \infty$ のとき 0 に収束しないから級数も収束しない（定理 5.1 級数に関するコーシーの収束条件の系）。つまり $a_n = 1$ のとき点 $a$ を中心とする半径 1 の円の内部では収束し円周と円の外部では発散する。

参考

解析入門 I