今日は学生の頃ゼミで読んでいた数論序説をつまみ読み。

類数の有限性

数論序説 p.112 定理 3.3:

$k$ を代数体とする。$M_k$ をミンコフスキー定数とする。このとき $k$ の任意のイデアル類に $N_k\mathfrak{a} \le M_k$ となるような $k$ の整イデアル $\mathfrak{a}$ が存在する。

この定理から類数の有限性が示される:

$$I := \{\mathfrak{a}\subset \mathcal{O}_k \mid N_k\mathfrak{a} \le M_k\}$$

とおく。定理 3.3 より $I$ はイデアル類の 1 つの完全代表系となるから $|I| \lt \infty$ を示せばよい。

$M_k$ 以下の素数は有限個だから $N_k\mathfrak{p} \le M_k$ となるような $k$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ は有限個である。よってイデアル論の基本定理より $N_k\mathfrak{a} \le M_k$ となるような $k$ の整イデアル $\mathfrak{a}$ も有限個である。すなわち $|I| \lt \infty$ である。

デデキントのゼータ関数

$K/\mathbb{Q}$ を代数体とし、$h_K$ を $K$ の類数とする。

$$\begin{equation} \displaystyle \zeta_K(s) := \sum_{0 \neq \mathfrak{a}\subset \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_K \mathfrak{a})^s},\ s\in \mathbb{C} \end{equation}$$

をデデキントのゼータ関数という。リーマンのゼータ関数は $\textrm{Re}\ s \gt 1$ で絶対収束するからデデキントのゼータ関数も $\textrm{Re}\ s \gt 1$ で絶対収束する。$H_K$ をイデアル類群とし $C_j\ (1 \le j \le h_K)$ をイデアル類とする。

$$\displaystyle \zeta_j(s) := \sum_{\mathfrak{a}\in C_j,\ \mathfrak{a} \subset \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_K \mathfrak{a})^s}$$

とおくと $(1)$ は

$$\begin{equation} \displaystyle \zeta_K(s) = \sum_{n = 1}^{h_K} \zeta_j(s) \end{equation}$$

となる。直感的にはなりそうだ。しかし右辺は $j$ 個の複素数の有限和だ。どうやって厳密に示したらよいのだろう。

$h_K = 2$ のときを考えてみる。まずは部分和を考えるために $0$ 以外の整イデアル全体を添え字づける:

$$0 \lt N_K\mathfrak{a}_1 \le N_K\mathfrak{a}_2 \le \cdots$$

このように添え字づけられた整イデアル全体の列

$$\{\mathfrak{a}_i \subset \mathcal{O}_K \}_{i\in \mathbb{N}},\ \mathfrak{a}_i \neq 0$$

から $H_K = \{C_1,\ C_2\}$ の各類に属する部分列を次のように定義する:

$$\mathfrak{a}_{i,\ j} := \begin{cases} \mathfrak{a}_i & (\mathfrak{a}_i\in C_j) \\ 0 & (\mathfrak{a}_i\notin C_j) \end{cases}$$

このとき

$$C_j = \{\mathfrak{a}_{i, j}\}_{i\in \mathbb{N}}\setminus \{0\}$$

ここで部分和を

$$\displaystyle {\zeta_K}^{(n)}(s) := \sum_{i = 1}^n \frac{1}{(N_K\mathfrak{a_i})^s}\\ \displaystyle {\zeta_j}^{(n)}(s) := \sum_{i = 1}^n \frac{1}{(N_K\mathfrak{a}_{i,\ j})^s}$$

と定義する。ただし、$\displaystyle {\zeta_j}^{(n)}(s)$ において $\mathfrak{a}_{i,\ j} = 0$ なる項は除く。

このとき

$$\displaystyle {\zeta_K}^{(n)}(s) = \sum_{j = 1}^{h_K} {\zeta_j}^{(n)}(s)$$

となる。この両辺を $n\to \infty$ とすれば $(2)$ を得る。

※ $\zeta_K(s)$ も $\zeta_j(s)$ も絶対収束するから項の入れ替えが可能で

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty} {\zeta_K}^{(n)}(s) = \zeta_K(s)\\ \displaystyle \lim_{n\to \infty} {\zeta_j}^{(n)}(s) = \zeta_j(s)$$

となる。

以上より $(2)$ を厳密に示すための重要なポイントは

• 各イデアルを添え字づけて部分和を考えてから極限をとる
• 絶対収束することによる各イデアルの項の入れ替え

これらは本に明記されていないからかなり初歩的なことなのだろう。

参考

数論序説