デデキントのゼータ関数とオイラー積

代数体 $K/\mathbb{Q}$ におけるデデキントのゼータ関数

$$\begin{equation} \displaystyle \zeta_K(s) := \sum_{0 \neq \mathfrak{a}\subset \mathcal{O}_K} \frac{1}{N_K \mathfrak{a}^s},\ s\in \mathbb{C} \end{equation}$$

もリーマンのゼータ関数と同様に $\textrm{Re}\ s \gt 1$ でオイラー積で表すことができる:

$$\begin{equation} \displaystyle \zeta_K(s) = \prod_{\mathfrak{p}: \ \textrm{prime ideal of } K} \frac{1}{1 - \frac{1}{{N_K\mathfrak{p}}^s}} \end{equation}$$

特に $K = \mathbb{Q}$ のときデデキントのゼータ関数はリーマンのゼータ関数である。

素数 $p$ の上にある $K$ の素イデアルは高々拡大次数 $[K:\mathbb{Q}]$ である（$p$ が完全分解する場合ちょうど $[K:\mathbb{Q}]$ 個ある）。よって $s = \sigma + it\ (\sigma, t\in \mathbb{R},\ \sigma \gt 1)$ とすると

$$\displaystyle \left| \frac{1}{1 - N_K\mathfrak{p}^{-s}} - 1 \right| \le \frac{2[K:\mathbb{Q}]}{p^\sigma}$$

よって $(2)$ の右辺は絶対収束する。

※この議論はリーマンのゼータ関数のオイラー積と同様。

$m \in \mathbb{Z}$ を任意に 1 つ固定する。$N_K\mathfrak{p} \le m$ となる素イデアル全体を $P_m$ 、$P_m$ に含まれる素イデアルのみを素因子とする整イデアル全体を $I_m$ とすると次が成り立つ:

$$\displaystyle \prod_{\mathfrak{p}\in P_m} \frac{1}{1 - N_K\mathfrak{p}^{-s}} = 1 + \sum_{\mathfrak{a} \in I_m} \frac{1}{(N_K\mathfrak{a})^s}$$

※この議論もリーマンのゼータ関数のオイラー積と同様。

ここからがわからない。右辺を $m\to \infty$ とすれば $\zeta_K(s)$ になりそうだがどうやって厳密に示すのだろう。絶対収束はどうすればいいのか。