今日はクリスマス。昨日に続きクリスマスらしいことは何もしていない。来年はケンタッキーのチキンを食べよう。昨年はちゃんと食べたが今年はそんな気が起きない。

前回の記事のデデキントのゼータ関数の絶対収束がわからない。また後で考えることにして先に進む。

ディリクレの $L$ 関数

$G := (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ の指標群を $\widehat{G}$ とする。$\chi\in \widehat{G}$ に対して

$$\displaystyle L(s, \chi) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s},\ s\in \mathbb{C}$$

をディリクレの $L$ 関数という。ただし $\chi$ は $\chi:\mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ に拡張しておく。

ディリクレの $L$ 関数のオイラー積

リーマンのゼータ関数やデデキントのゼータ関数と同様ディリクレの $L$ 関数もオイラー積で表すことができる。証明を追っていく。

まずは $L(s, \chi)$ が $\textrm{Re}\ s \gt 1$ で絶対収束することを示す。$|\chi(n)| \le 1$ だから、リーマンのゼータ関数が絶対収束することから $L(s, \chi)$ も絶対収束する。

次にオイラー積。おなじみの有限個の素数 $p_1,\ \cdots,\ p_m$ に着目する方法で示す。まず次が成り立つ:

$$\displaystyle \prod_{n = 1}^m \left(1 - \frac{\chi(p_n)}{p^s}\right)^{-1} = \sum_{k_1,\ \cdots,\ k_m = 0} \frac{\chi({p_1}^{k_1}\cdots {p_m}^{k_m})}{({p_1}^{k_1}\cdots {p_m}^{k_m})^s}$$

ここで次のように和をわける:

$$\displaystyle \prod_{n = 1}^m \left(1 - \frac{\chi(p_n)}{p^s}\right)^{-1} = \sum_{n = 1}^{p_m} \frac{\chi(n)}{n^s} + \sum_{n \gt p_m}\prime \frac{\chi(n)}{n^s}$$

ここで $\displaystyle \sum_{n \gt p_m}\prime \frac{\chi(n)}{n^s}$ は $p_1,\ \cdots,\ p_m$ のみを素因数とする $p_m$ より大きい $n$ に関する和を表す。

リーマンのゼータ関数とオイラー積と同様の議論により $\displaystyle \sum_{n \gt p_m}\prime \frac{\chi(n)}{n^s} \to 0 \ (m\to \infty)$ だから、両辺を $m\to \infty$ とすると

$$\displaystyle L(s,\ \chi) = \prod_{p:\ \textrm{prime}} \left(1 - \frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}$$

が成り立つ。

参考

• 解析入門 I
• 数論序説