無限積と無限和（級数）の収束

無限積の絶対収束と級数の絶対収束はある意味同値である。それが次の命題（解析入門 I p.389 定理 6.2）:

すべての $n\in \mathbb{N}$ に対し $a_n \ge 0$ のとき、次の $(a)$ と $(b)$ は同値である:

$(a)\$ $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ は収束する。

$(b)\$ $\displaystyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + a_n)$ は収束する。

これを絶対収束と言い換えても成り立つ。

オイラー積が絶対収束すること

オイラー積

$$\displaystyle \prod_{p:\ \textrm{prime}} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$

が絶対収束することを示すには、$\displaystyle a_n := \left(1 - \frac{1}{{p_n}^s}\right)^{-1} - 1$ とおき、$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ が絶対収束することを示せばよい（$p_n$ は $n$ 番目の素数）。

$$\begin{align} \displaystyle \nonumber \left|a_n\right| & = \left|\left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1} - 1 \right| \\ \nonumber & = \left|\left(\frac{1}{p^s - 1}\right) \right| \\ \nonumber & = \frac{1}{\left|p^s - 1\right|} \\ \nonumber & \le \frac{1}{|p^s| - 1} \end{align}$$

最後は三角不等式を使った。

$s = \sigma + it\ (\sigma,\ t\in \mathbb{R},\ \sigma \gt 1)$ とする。$p_n \ge 2\ (\forall n)$ だから $\displaystyle \frac{1}{{p_n}^\sigma - 1} \le \frac{2}{{p_n}^\sigma}$ となる。よって

$$|a_n| \le \frac{1}{|p^s| - 1} \le \frac{2}{{p_n}^\sigma}$$

となる。リーマンのゼータ関数が収束するから $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{2}{{p_n}^\sigma}$ も収束する。よって比較定理により $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ は絶対収束する。

※この議論は代数体 $K/\mathbb{Q}$ のオイラー積 $\displaystyle \prod_{\mathfrak{p}: \ \textrm{prime ideal of } K} \left(\frac{1}{{1 - N_K\mathfrak{p}}^s}\right)^{-1}$ が絶対収束することと同様である。

参考

• 解析入門 I