今は 8:15。先ほど PC を立ち上げ先方から連絡が来ていないことを確認した。あと 2 日。このまま不具合が出なければいいが。今日も労働時間の問題で 11:00 出勤にしなければならないので数学をやる。

リーマンのゼータ関数とディリクレの $L$ 関数

以前の記事で $m\in \mathbb{N},\ \chi\in \widehat{\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}}, s\in \mathbb{C}$ とし、$L$ 関数

$$\displaystyle L(s,\ \chi) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}$$

について書いた。特に $\chi = \varepsilon$ のときを考える。

$$\varepsilon(n) = \begin{cases} 0 & (p\mid m) \\ 1 & (p\nmid m) \end{cases}$$

だから、$L(s,\ \varepsilon)$ のオイラー積表示は

$$\displaystyle L(s,\ \varepsilon) = \prod_{p\ \nmid \ m} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$

となる。一方リーマンのゼータ関数のオイラー積表示は

$$\displaystyle \zeta(s) = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$

だから無限積が絶対収束することにより順序を入れ替えて

$$\displaystyle \zeta(s) = L(s,\ \varepsilon) \prod_{p \mid m} \left(1 - \frac{1}{p^s}\right)^{-1}$$

となる。