ちゃんと証明を追ったので書こうと思う。

リーマンのゼータ関数は絶対収束する

$\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}$ が絶対収束することを示すためには、$s = \sigma + it\ (\sigma,\ t\in \mathbb{R}, \sigma \gt 1)$ とおいたとき $|n|^s = n^\sigma$ より $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^\sigma}$ が収束することを示せばよい。この級数の部分和からなる実数列 $(A)$ は単調増加である。よって証明の方針は「上に有界な単調増加列は収束する」ことを用いる。

$n^x\ (x\in \mathbb{R},\ x \gt 1)$ というグラフの面積を考えると、

$$\displaystyle \int_n^{n + 1} \frac{1}{n^x} dx \lt \frac{1}{n^x} \lt \int_{n - 1}^n \frac{1}{n^x} dx$$

が成り立つ（左辺は $n \ge 1$、右辺は $n \ge 2$）。

任意に $N\in \mathbb{N}$ をとる。左辺において $n = 1,\ 2,\ \cdots,\ N$ を代入した辺々を足すと

$$\int_1^N \frac{1}{n^x} dx \lt \sum_{n = 1}^N \frac{1}{n^x}$$

右辺において $n = 2,\ 3,\ \cdots,\ N$ を代入した辺々を足し、両辺に $1$ を足すと

$$\sum_{n = 1}^N \frac{1}{n^x} \lt 1 + \int_1^N \frac{1}{n^x} dx$$

よって

$$\begin{equation} \int_1^N \frac{1}{n^x} dx \lt \sum_{n = 1}^N \frac{1}{n^x} \lt 1 + \int_1^N \frac{1}{n^x} dx \end{equation}$$

$\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{n^x} dx = \frac{1}{x-1}$ だから実数列 $(A)$ は上に有界である。よって $\zeta(s)$ は絶対収束する。

なお、$\zeta(s)$ を実数 $s > 1$ で考えると $(1)$ において $N\to \infty$ とすると

$$\displaystyle \frac{1}{s - 1} \lt \zeta(s) \lt \frac{s}{s - 1}$$

となり、$s\to 1 + 0$ のとき $\displaystyle \lim_{s \to 1 + 0} (s - 1)\zeta(s) = 1$ となる。

実数ではなく複素数のときを考えたいが大変そう:

高校数学の美しい物語 - ガンマ関数とゼータ関数の解析接続

参考

• 高校数学の美しい物語 - ゼータ関数の定義と基本的な話
• 解析入門 I
• 数論序説