コレックは, 任意の $θ > \textrm{log} 3 / \textrm{log} 4 ≈ 0.7924$ に対して, ほぼすべての $N \in \mathbb{N} + 1$ について$\textrm{Col}_{\textrm{min}}(N) ≤ N^θ$ であることを示した（自然密度の意味で）. 本論文では, 任意の関数 $f: N + 1 \to \mathbb{R}$ に対して, $\textrm{lim}_{N\to\infty} f(N) = +\infty$ ならば, ほぼすべての $N \in \mathbb{N} + 1$ に対して $\textrm{Col}_{\textrm{min}}(N) \le f(N)$ であることを示す（対数密度の意味で）. 本証明は, コラッツ反復（またはより正確には, 密接に関連するシラキューズ反復）に関連する特定の初回通過確率変数に対する安定化特性を確立することによって進められ, これにより, ある 3-進巡回群 $\mathbb{Z}/3^n\mathbb{Z}$上での特定の偏ったランダムウォークの特徴関数を高周波数で推定することに帰着する. この推定は, 特定の二次元再生過程が与えられた周波数に関連する三角形の集合とどのように相互作用するかを調べることによって達成される.

$f : \mathbb{N} + 1 → \mathbb{R}$ を $\textrm{lim}_{N\to\infty} f(N) = +\infty$ となるような任意の関数とする. ほとんどすべて（対数密度）の $N \in \mathbb{N} + 1$ に対して $\textrm{Col}_{\textrm{min}}(N) \lt f(N)$ が成り立つ.